已知f（n）=1+12+13+L+1n（n∈N*），用数学归纳法证明f（2n）＞n2时，f（2k+1）-f（2k）等于______．

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已知f（n）=1+

+L+

（n∈N^*），用数学归纳法证明f（2ⁿ）＞

时，f（2^k+1）-f（2^k）等于______．

答案

因为假设n=k时，f（2^k）=1+

+…+

，
当n=k+1时，f（2^k+1）=1+

+…+

2k+1

+…+

2k+1

∴f（2^k+1）-f（2^k）=

2k+1

2k+2

+…+

2k+1

故答案为：

2k+1

2k+2

+…+

2k+1

举一反三

用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•…•（2n-1）”（n∈N₊）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是______．

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用数学归纳法证明：

n+1

n+2

n+3

+…+

n+n

＞

（n∈N，n≥1）

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设f（n）=nⁿ⁺¹，g（n）=（n+1）ⁿ，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3，4时，比较f（n）与g（n）的大小．
（2）根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

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在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N⁺）．（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式（不必证明）；（Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{a_n}不是等比数列；（Ⅲ）当λ=1时，试比较a_n与n²+1的大小，证明你的结论．

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各项都为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

+…+

≤

2n-1

对一切n∈N⁺恒成立．

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