各项都为正数的数列{an},满足a1=1,an+12-an2=2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)证明1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒
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各项都为正数的数列{an},满足a1=1,an+12-an2=2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)证明1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒
题型:石家庄二模
难度:
来源:
各项都为正数的数列{a
n
},满足a
1
=1,a
n+1
2
-a
n
2
=2.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)证明
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n
≤
2n-1
对一切n∈N
+
恒成立.
答案
(Ⅰ)∵a
n+1
2
-a
n
2
=2,∴a
n
2
为首项为1,公差为2的等差数列,
∴a
n
2
=1+(n-1)×2=2n-1,又a
n
>0,则
a
n
=
2n-1
(Ⅱ)只需证:
1+
1
3
+…+
1
2n-1
≤
2n-1
.
1当n=1时,左边=1,右边=1,所以命题成立.
当n=2时,左边<右边,所以命题成立
②假设n=k时命题成立,即
1+
1
3
+…+
1
2k
-1
≤
2k-1
,
当n=k+1时,左边=
1+
1
3
+…+
1
2K-1
+
1
2K+1
≤
2K-1
+
1
2K+1
.
<
2K-1
+
2
2K+1
+
2K-1
=
2K-1
+
2(
2K+1
-
2K-1
)
2
=
2(K+1)-1
.命题成立
由①②可知,
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n
≤
2n-1
对一切n∈N
+
恒成立.
举一反三
已知x
1
>0,x
1
≠1,且
x
n+1
=
x
n
(
x
2n
+3)
3
x
2n
+1
,(n=1,2,…).试证:数列{x
n
}或者对任意自然数n都满足x
n
<x
n+1
,或者对任意自然数n都满足x
n
>x
n+1
.
题型:不详
难度:
|
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设a>2,给定数列{x
n
},其中x
1
=a,
x
n+1
=
x
2n
2(
x
n
-1)
(n=1,2…)
求证:
(1)x
n
>2,且
x
n+1
x
n
<1(n=1,2…)
;
(2)如果a≤3,那么
x
n
≤2+
1
2
n-1
(n=1,2…)
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
x+3
x+1
(x≠-1).设数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n+1
=f(a
n
),数列{b
n
}满足b
n
=|a
n
-
3
|,S
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
(n∈N
*
).
(Ⅰ)用数学归纳法证明b
n
≤
(
3
-1)
n
2
n-1
;
(Ⅱ)证明S
n
<
2
3
3
.
题型:辽宁
难度:
|
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数列{a
n
}满足a
1
=1且a
n+1
=(1+
1
n
2
+n
)a
n
+
1
2
n
(n≥1).
(Ⅰ)用数学归纳法证明:a
n
≥2(n≥2);
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:a
n
<e
2
(n≥1),其中无理数e=2.71828….
题型:重庆
难度:
|
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已知m,n为正整数.
(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)
m
≥1+mx;
(Ⅱ)对于n≥6,已知
(1-
1
n+3
)
n
<
1
2
,求证
(1-
m
n+3
)
n
<(
1
2
)
m
,m=1,2…,n;
(Ⅲ)求出满足等式3
n
+4
n
+5n
+
…+(n+2)
n
=(n+3)
n
的所有正整数n.
题型:湖北
难度:
|
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