已知x1>0,x1≠1,且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1,(n=1,2,…).试证:数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1,或者对任意自然
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已知x1>0,x1≠1,且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1,(n=1,2,…).试证:数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1,或者对任意自然
题型:不详
难度:
来源:
已知x
1
>0,x
1
≠1,且
x
n+1
=
x
n
(
x
2n
+3)
3
x
2n
+1
,(n=1,2,…).试证:数列{x
n
}或者对任意自然数n都满足x
n
<x
n+1
,或者对任意自然数n都满足x
n
>x
n+1
.
答案
证:首先,
x
n+1
-
x
n
=
x
n
(
x
2n
+3)
3
x
2n
+1
-
x
n
=
2
x
n
(1-
x
2n
)
3
x
2n
+1
,
由于x
1
>0,由数列{x
n
}的定义可知x
n
>0,(n=1,2,…)
所以,x
n+1
-x
n
与1-x
n
2
的符号相同.
①假定x
1
<1,我们用数学归纳法证明1-x
n
2
>0(n∈N)
显然,n=1时,1-x
1
2
>0
设n=k时1-x
k
2
>0,那么当n=k+1时
1-
x
2k+1
=1-[
x
k
(
x
2k
+3)
3
x
2k
+1
]
2
=
(1-
x
2k
)
3
(3
x
2k
+1)
2
>0
,
因此,对一切自然数n都有1-x
n
2
>0,
从而对一切自然数n都有x
n
<x
n+1
②若x
1
>1,
当n=1时,1-x
1
2
<0;
设n=k时1-x
k
2
<0,那么当n=k+1时
1-
x
2k+1
=1-
[
x
k
(
x
2k
+3)
3
x
2k
+1
]
2
=
(1-
x
2k
)
3
(3
x
2k
+1)
2
<0
,
因此,对一切自然数n都有1-x
n
2
<0,
从而对一切自然数n都有x
n
>x
n+1
举一反三
设a>2,给定数列{x
n
},其中x
1
=a,
x
n+1
=
x
2n
2(
x
n
-1)
(n=1,2…)
求证:
(1)x
n
>2,且
x
n+1
x
n
<1(n=1,2…)
;
(2)如果a≤3,那么
x
n
≤2+
1
2
n-1
(n=1,2…)
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
x+3
x+1
(x≠-1).设数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n+1
=f(a
n
),数列{b
n
}满足b
n
=|a
n
-
3
|,S
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
(n∈N
*
).
(Ⅰ)用数学归纳法证明b
n
≤
(
3
-1)
n
2
n-1
;
(Ⅱ)证明S
n
<
2
3
3
.
题型:辽宁
难度:
|
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数列{a
n
}满足a
1
=1且a
n+1
=(1+
1
n
2
+n
)a
n
+
1
2
n
(n≥1).
(Ⅰ)用数学归纳法证明:a
n
≥2(n≥2);
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:a
n
<e
2
(n≥1),其中无理数e=2.71828….
题型:重庆
难度:
|
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已知m,n为正整数.
(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)
m
≥1+mx;
(Ⅱ)对于n≥6,已知
(1-
1
n+3
)
n
<
1
2
,求证
(1-
m
n+3
)
n
<(
1
2
)
m
,m=1,2…,n;
(Ⅲ)求出满足等式3
n
+4
n
+5n
+
…+(n+2)
n
=(n+3)
n
的所有正整数n.
题型:湖北
难度:
|
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已知数列{a
n
}的各项都是正数,且满足:
a
0
=1,
a
n+1
=
1
2
a
n
•(4-
a
n
),n∈N
.
(1)求a
1
,a
2
;
(2)证明a
n
<a
n+1
<2,n∈N.
题型:不详
难度:
|
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