数列{an}满足a1=1且an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1).(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x

数列{an}满足a1=1且an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1).(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x

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数列{an}满足a1=1且an+1=(1+
1
n2+n
)an+
1
2n
(n≥1).
(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<e2(n≥1),其中无理数e=2.71828….
答案
(Ⅰ)证明:
①当n=2时,a2=2≥2,不等式成立.
②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2(k≥2),
那么ak+1=(1+
1
k(k+1)
)ak+
1
2k
≥2.这就是说,当n=k+1时不等式成立.
根据(1)、(2)可知:ak≥2对所有n≥2成立.
(Ⅱ)由递推公式及(Ⅰ)的结论有an+1=(1+
1
n2+n
)an+
1
2n
≤(1+
1
n2+n
+
1
2n
)an(n≥1)
两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln(1+
1
n2+n
+
1
2n
)+lnan≤lnan+
1
n2+n
+
1
2n

故lnan+1-lnan
1
n(n+1)
+
1
2n
(n≥1).
上式从1到n-1求和可得lnan-lna1
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)n
+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1

=1-
1
2
+(
1
2
-
1
3
)+…+
1
n-1
-
1
n
+
1
2
1-
1
2n
1-
1
2
=1-
1
n
+1-
1
2n
<2
即lnan<2,故an<e2(n≥1).
举一反三
已知m,n为正整数.
(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
(Ⅱ)对于n≥6,已知(1-
1
n+3
)n
1
2
,求证(1-
m
n+3
)n<(
1
2
)m
,m=1,2…,n;
(Ⅲ)求出满足等式3n+4n+5n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.
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已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=
1
2
an•(4-an),n∈N

(1)求a1,a2
(2)证明an<an+1<2,n∈N.
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用数学归纳法证明2n>n2(n∈N,n≥1),则第一步应验证______.
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试比较nn+1与(n+1)n(n∈N*)的大小.
当n=1时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
当n=2时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
当n=3时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
当n=4时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
猜想一个一般性的结论,并加以证明.
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已知数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an=
1
n
f(n)=





S2n   n=1
S2n-Sn-1  n≥2

(Ⅰ)计算f(1),f(2),f(3)的值;
(Ⅱ)比较f(n)与1的大小,并用数学归纳法证明你的结论.
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