已知函数f(x)=x+3x+1(x≠-1).设数列{an}满足a1=1,an+1=f(an),数列{bn}满足bn=|an-3|,Sn=b1+b2+…+bn(n
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已知函数f(x)=x+3x+1(x≠-1).设数列{an}满足a1=1,an+1=f(an),数列{bn}满足bn=|an-3|,Sn=b1+b2+…+bn(n
题型:辽宁
难度:
来源:
已知函数f(x)=
x+3
x+1
(x≠-1).设数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n+1
=f(a
n
),数列{b
n
}满足b
n
=|a
n
-
3
|,S
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
(n∈N
*
).
(Ⅰ)用数学归纳法证明b
n
≤
(
3
-1)
n
2
n-1
;
(Ⅱ)证明S
n
<
2
3
3
.
答案
证明:(Ⅰ)当x≥0时,f(x)=1+
2
x+1
≥1.
因为a
1
=1,所以a
n
≥1(n∈N
*
).
下面用数学归纳法证明不等式b
n
≤
(
3
-1)
n
2
n-1
.
(1)当n=1时,b
1
=
3
-1,不等式成立,
(2)假设当n=k时,不等式成立,即b
k
≤
(
3
-1)
k
2
k-1
.
那么b
k+1
=|a
k+1
-
3
|=
(
3
-1)|
a
k
-
3
|
1+
a
k
3
-1
2
b
k
≤
(
3
-1)
k+1
2
k
.
所以,当n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)和(2),可知不等式对任意n∈N
*
都成立.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b
n
≤
(
3
-1)
n
2
n-1
.
所以S
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
≤(
3
-1)+
(
3
-1)
2
2
+…+
(
3
-1)
n
2
n-1
=(
3
-1)•
1-
(
3
-1
2
)
n
1-
3
-1
2
<(
3
-1)•
1
1-
3
-1
2
=
2
3
3
.
故对任意n∈N
*
,S
n
<
2
3
3
.
举一反三
数列{a
n
}满足a
1
=1且a
n+1
=(1+
1
n
2
+n
)a
n
+
1
2
n
(n≥1).
(Ⅰ)用数学归纳法证明:a
n
≥2(n≥2);
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:a
n
<e
2
(n≥1),其中无理数e=2.71828….
题型:重庆
难度:
|
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已知m,n为正整数.
(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)
m
≥1+mx;
(Ⅱ)对于n≥6,已知
(1-
1
n+3
)
n
<
1
2
,求证
(1-
m
n+3
)
n
<(
1
2
)
m
,m=1,2…,n;
(Ⅲ)求出满足等式3
n
+4
n
+5n
+
…+(n+2)
n
=(n+3)
n
的所有正整数n.
题型:湖北
难度:
|
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已知数列{a
n
}的各项都是正数,且满足:
a
0
=1,
a
n+1
=
1
2
a
n
•(4-
a
n
),n∈N
.
(1)求a
1
,a
2
;
(2)证明a
n
<a
n+1
<2,n∈N.
题型:不详
难度:
|
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用数学归纳法证明2
n
>n
2
(n∈N,n≥1),则第一步应验证______.
题型:不详
难度:
|
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试比较n
n+1
与(n+1)
n
(n∈N
*
)的大小.
当n=1时,有n
n+1
______(n+1)
n
(填>、=或<);
当n=2时,有n
n+1
______(n+1)
n
(填>、=或<);
当n=3时,有n
n+1
______(n+1)
n
(填>、=或<);
当n=4时,有n
n+1
______(n+1)
n
(填>、=或<);
猜想一个一般性的结论,并加以证明.
题型:不详
难度:
|
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