在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+).(Ⅰ)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式(不必证明);(Ⅱ)证

在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+).(Ⅰ)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式(不必证明);(Ⅱ)证

题型:不详难度:来源:
在数列{an}中,a1=2,an+1=λann+1+(2-λ)2n(n∈N+).(Ⅰ)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式(不必证明);(Ⅱ)证明:当λ≠0时,数列{an}不是等比数列;(Ⅲ)当λ=1时,试比较an与n2+1的大小,证明你的结论.
答案
(Ⅰ)∵a1=2,
∴a2=λa12+2(2-λ)=λ2+4,
同理可得,a3=2λ3+8,
a4=3λ4+16,
猜想an=(n-1)λn+2n
(Ⅱ)假设数列{an}是等比数列,
则a1,a2,a3也成等比数列,
∴a22=a1•a3⇒(λ2+4)2=2(2λ3+8)⇒λ4-4λ3+8λ2=0,
∵λ≠0,∴λ2-4λ+8=0,即(λ-2)2+4=0,
但(λ-2)2+4>0,矛盾,∴数列{an}不是等比数列.
(Ⅲ)∵λ=1,∴an=(n+1)+2n
∴an-(n2+1)=2n-(n2-n+2),
∵当n=1,2,3时,2n=n2-n+2,
∴an=n2+1.
当n≥4时,猜想2n>n2-n+2,
证明如下:当n=4时,显然2k>k2-4+2
假设当n=k≥4时,猜想成立,即2k>k2-k+2,
则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2(k2-k+2),
∵2(k2-k+2)-[(k+1)20-(k+1)+2]
=(k-1)(k-2)>0
∴2k+1>2(k2-k+2)>(k+1)2-(k+1)+2,
∴当n≥4时,猜想2n>n2-n+2成立,
∴当n≥4时,an>n2+1.
举一反三
各项都为正数的数列{an},满足a1=1,an+12-an2=2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an


2n-1
对一切n∈N+恒成立.
题型:石家庄二模难度:| 查看答案
已知x1>0,x1≠1,且xn+1=
xn(
x2n
+3)
3
x2n
+1
,(n=1,2,…).试证:数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1,或者对任意自然数n都满足xn>xn+1
题型:不详难度:| 查看答案
设a>2,给定数列{xn},其中x1=a,xn+1=
x2n
2(xn-1)
(n=1,2…)
求证:
(1)xn>2,且
xn+1
xn
<1(n=1,2…)

(2)如果a≤3,那么xn≤2+
1
2n-1
(n=1,2…)
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
x+3
x+1
(x≠-1).设数列{an}满足a1=1,an+1=f(an),数列{bn}满足bn=|an-


3
|,Sn=b1+b2+…+bn(n∈N*).
(Ⅰ)用数学归纳法证明bn
(


3
-1)
n
2n-1

(Ⅱ)证明Sn
2


3
3
题型:辽宁难度:| 查看答案
数列{an}满足a1=1且an+1=(1+
1
n2+n
)an+
1
2n
(n≥1).
(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<e2(n≥1),其中无理数e=2.71828….
题型:重庆难度:| 查看答案
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