函数数列{fn(x)}满足:f1(x)=x1+x2(x>0),fn+1(x)=f1[fn(x)](1)求f2(x),f3(x);(2)猜想fn(x)的表达式,并
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函数数列{fn(x)}满足:f1(x)=x1+x2(x>0),fn+1(x)=f1[fn(x)](1)求f2(x),f3(x);(2)猜想fn(x)的表达式,并
题型:不详
难度:
来源:
函数数列{f
n
(x)}满足:
f
1
(x)=
x
1+
x
2
(x>0)
,f
n+1
(x)=f
1
[f
n
(x)]
(1)求f
2
(x),f
3
(x);
(2)猜想f
n
(x)的表达式,并证明你的结论.
答案
(1)
f
2
(x)=
f
1
(
f
1
(x))=
f
1
(x)
1+
f
21
(x)
=
x
1+2
x
2
f
3
(x)=
f
1
(
f
2
(x))=
f
2
(x)
1+
f
22
(x)
=
x
1+3
x
2
(2)猜想:
f
n
(x)=
x
1+n
x
2
(n∈
N
*
)
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,
f
1
(x)=
x
1+
x
2
2,已知,显然成立
②假设当n=K(K∈N
*
)4时,猜想成立,即
f
k
(x)=
x
1+k
x
2
则当n=K+1时,
f
k+1
(x)=
f
1
(
f
k
(x))=
f
k
(x)
1+
f
2k
(x)
=
x
1+k
x
2
1+
(
x
1+k
x
2
)
2
=
x
1+(k+1)
x
2
即对n=K+1时,猜想也成立.
结合①②可知:猜想
f
n
(x)=
x
1+n
x
2
对一切n∈N
*
都成立.
举一反三
试比较n
n+1
与(n+1)
n
(n∈N
*
)的大小.
当n=1时,有n
n+1
______(n+1)
n
(填>、=或<);
当n=2时,有n
n+1
______(n+1)
n
(填>、=或<);
当n=3时,有n
n+1
______(n+1)
n
(填>、=或<);
当n=4时,有n
n+1
______(n+1)
n
(填>、=或<);
猜想一个一般性的结论,并加以证明.
题型:不详
难度:
|
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用数学归纳法证明等式
1+2+3+…+(n+3)=
(n+3)(n+4)
2
(n
∈N
+
)
时,第一步验证n=1时,左边应取的项是______
题型:不详
难度:
|
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证明不等式
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<2
n
(n∈N
*
)
题型:云南
难度:
|
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用数学归纳法证明不等式:
1
n
+
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
n
2
>1(n∈N
*
且n.1).
题型:不详
难度:
|
查看答案
用数学归纳法证明不等式
1+
1
2
+
1
4
+…+
1
2
n-1
>
127
64
成立,起始值至少应取为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
题型:不详
难度:
|
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