解:(1)求导函数可得:f′(x)=r(1-xr-1), 令f′(x)=0,解得x=1; 当0<x<1时,f′(x)<0, 所以f(x)在(0,1)上是减函数; 当x>1时,f′(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上是增函数 所以f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0; (2)由(1)知,x∈(0,+∞)时,有f(x)≥f(1)=0,即xr≤rx+(1-r)① 若a1,a2中有一个为0, 则≤a1b1+a2b2成立; 若a1,a2均不为0, ∵b1+b2=1, ∴b2=1-b1, ∴①中令,可得≤a1b1+a2b2成立 综上,对a1≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数, 若b1+b2=1,则≤a1b1+a2b2;② 。 (3)(2)中的命题推广到一般形式为:设a1≥0,a2≥0,…,an≥0,b1,b2,…,bn为正有理数,若b1+b2+…+bn=1,则≤a1b1+a2b2+…anbn;③ 用数学归纳法证明: (i)当n=1时,b1=1,a1≤a1,③成立 (ii)假设当n=k时,③成立,即a1≥0,a2≥0,…,ak≥0,b1,b2,…,bk为正有理数,若 b1+b2+…+bk=1,则≤a1b1+a2b2+…akbk 当n=k+1时,a1≥0,a2≥0,…,ak+1≥0,b1,b2,…,bk+1为正有理数, 若b1+b2+…+bk+1=1, 则1-bk+1>0 于是=()= ∵ ∴≤ = ∴≤·(1-bk+1) ∴ ∴当n=k+1时,③ 成立由(i)(ii)可知,对一切正整数,推广的命题成立。 |