解:(1)∵f′(x)=,令h(x)=x2﹣2x+m,△=(﹣2)2﹣4m, 当△≤0,即m≥1时,f′(x)≥0恒成立,f(x)单调递增; 当△>0,即m<1时,f′(x)的符号不确定(或大于0,或小于0), f(x)在定义域内不单调, ∴当f(x)单调递增时,m≥1;当m<1时,f(x)在定义域内不单调. ∴实数m的取值范围为[1,+∞); (2)∵m≥1, ∴当m取得最小值时m=1, ∴a1=3+m=4, 又an+1=f′()﹣nan+1,n∈N*. ∴an+1=an2﹣nan+1 ①用数学归纳法证明: (I)当n=1时,a1=4>3=1+2,不等式成立; (II)假设当n=k时,不等式成立,即ak>k+2, 那么,ak+1=ak(ak﹣k)+1>(k+2)(k+2﹣k)+1≥k+3, 也就是说,当n=k+1时,ak+1>(k+1)+2, 根据(I)和(II),对于所有n≥1,有an≥n+2. ②由an+1=an(an﹣n)+1及①,对k≥2,有 ak=ak﹣1(ak﹣1﹣k+1)+1≥ak﹣1(k﹣1+2﹣k+1)+1=2ak﹣1+1 ∵1+ak≥2(ak﹣1+1), 由等比数列的通项公式可得:ak≥2k﹣1(a1+1)﹣1, 于是<(k≥2), ∴++…+<<==. |