已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=bx-1a2x+2b(1)f(x)为偶函数,试判断g(x)的奇偶性;(2)若方程g(x)=x有两个不相等的实根

已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=bx-1a2x+2b(1)f(x)为偶函数,试判断g(x)的奇偶性;(2)若方程g(x)=x有两个不相等的实根

题型:不详难度:来源:
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1
a2x+2b

(1)f(x)为偶函数,试判断g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有两个不相等的实根,当a>0时判断f(x)在(-1,1)上的单调性;
(3)若方程g(x)=x的两实根为x1,x2f(x)=0的两根为x3,x4,求使x3<x1<x2<x4成立的a的取值范围.
答案
(1)因为f(x)为偶函数,
所以f(-x)=f(x),即b=0,
所以g(x)=
bx-1
a2x+2b
=
-1
a2x
,定义域为{x|x≠0},
所以g(-x)=-g(x),
所以函数g(x)是奇函数.
(2)由方程g(x)=x整理可得a2x2+bx+1=0,
因为方程g(x)=x有两个不相等的实根,
所以△=b2-4a2>0,即|
b
2a
|>1
,即
b
2a
>1或
b
2a
<-1

又因为函数f(x)=ax2+bx+1的对称轴为x=-
b
2a
,并且a>0,
所以当-
b
2a
< -1
时,f(x)在(-1,1)上是增函数;当-
b
2a
>1
时,f(x)在(-1,1)上是减函数.
(3)由





g(x)=x
f(x)=0
可得





a2x2+bx+1=0
ax2+bx+1=0

设α为x1与x2中的一个数,
则有





a2α2+bα+1=0
(α-x3)(α-x4)<0

因为x3+x4=-
b
a
,x3x4=
1
a

所以有





a2α2+bα+1=0
α2+
b
a
α+
1
a
<0   

当a>0时有





a2α2+bα+1=0
2+bα+1<0  

所以结合两式可得(a-a2)α2<0,
解得:a>1或a<0(舍去).
当a<0时有





a2α2+bα+1=0
2+bα+1>0 

所以所以结合两式可得(a-a2)α2>0,
解得:0<a<1(舍去).
综上可得a的取值范围为(1,+∞).
举一反三
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且不等式f(x)<0的解集为(-∞,1)∪(3,+∞),若f(x)的最大值小于2,则a的取值范围是 ______.
题型:徐州一模难度:| 查看答案
已知方程3x2-9x+m=0的一个根是1,则m=______.
题型:不详难度:| 查看答案
若方程x2-2mx+4=0的两根满足一根大于1,一根小于1,则m的取值范围是(  )
题型:不详难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
A.(-∞,-数学公式B.(数学公式,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-数学公式,+∞)
已知函数f(x)=x2-2bx+b+2的图象与x轴交于不同两点A,B,且A,B的横坐标均不小于1,求实数b的取值范围.
已知关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,则实数a的取值范围(  )
题型:不详难度:| 查看答案
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