【题文】(本题满分14分)已知二次函数满足且.(Ⅰ)求的解析式.(Ⅱ)在区间上, 的图象恒在的图象上方,试确定实数的范围.
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【题文】(本题满分14分)已知二次函数
满足
且
.
(Ⅰ)求
的解析式.
(Ⅱ)在区间
上,
的图象恒在
的图象上方,试确定实数
的范围.
答案
【答案】(Ⅰ)f(x)=x2-x+1.(Ⅱ)m<-1
解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由待定系数法可设f(x)=ax
2+bx+c(
), 由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax
2+bx+1.又因为f(x+1)-f(x)=2x,代入可得a(x+1)
2+b(x+1)+1-(ax
2+bx+1)=2x.即2ax+a+b="2x," 所以
∴f(x)=x
2-x+1.
(Ⅱ)由题意
的图象恒在
的图象上方即x
2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立,即x
2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.令g(x)= x
2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=
,所以g(x) 在[-1,1]上递减.
所以g(1)>0,即1
2-3×1+1-m>0,从而m<-1.
试题解析: (Ⅰ)设f(x)=ax
2+bx+c,由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax
2+bx+1. 2分
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)
2+b(x+1)+1-(ax
2+bx+1)=2x.
即2ax+a+b="2x," 4分
所以
, 6分∴f(x)=x
2-x+1. 7分
(Ⅱ)由题意得x
2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x
2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.
设g(x)= x
2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=
, 9分
所以g(x) 在[-1,1]上递减.
故只需g(1)>0, 即1
2-3×1+1-m>0, 12分
解得m<-1. 14分
考点:待定系数法求函数解析式及二次函数性质的应用.
举一反三
【题文】已知f(x)的定义域是
,则f(
)的定义域是
【题文】下列各组函数表示相等函数的是( )
A.与y="x+3" |
B.与y=x-1 |
C.y=x0(x≠0)与y=1(x≠0) |
D.y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z) |
【题文】设f(x)=
则f(f(-1))=( )
【题文】下列函数与函数
相等的是( )
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