【题文】（本题满分12分）已知函数是奇函数（且）．①求实数的值；②判断在区间上的单调性，并加以证明；③当且时，的值域是，求实数与的值．

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【题文】（本题满分12分）已知函数是奇函数（且）．
①求实数的值；
②判断在区间上的单调性，并加以证明；
③当且时，的值域是，求实数与的值．

答案

【答案】①；②；当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；③.

解析

【解析】
试题分析：本题以复合对数函数为载体，综合考查对数函数的性质，函数的单调性，函数的奇偶性，对考生数学式子变形能力要求较高.(1)由为奇函数，根据可以求出；（2）证明函数的单调性要利用定义：任意取值—作差—变形—定号下结论，在作差变形后得到的时对数式，再作差比较真数和1的大小，由于不确定，还需要分两种情况讨论函数的单调性；（3）函数的定义域为，所以，由题意，所以，又时，解得，由（2）知函数在上为减函数，要满足的值域是，需要时,，所以即.
试题解析：（1）因为是奇函数，即，
所以对定义域内的一切都成立，所以，
又当时，无意义，故
由（1）得，，任意取且，
则.
由于
因为，所以，
所以
所以当时 ，；当时，.
综上所述：当时，在上是减函数；
当时，在上是增函数
（3）由得中.又得
令，则,解得.所以.
当时,,此时在上是减函数，
所以当时,.由题意知,.
综上所述
考点：1.对数函数的性质；2.函数的单调性