【题文】(本小题满分12分)设是定义在 上的函数,满足条件:①; ②当时,恒成立.(Ⅰ)判断在上的单调性,并加以证明;(Ⅱ)若,求满足的x的取值范围.
题型:难度:来源:
【题文】(本小题满分12分)
设
是定义在
上的函数,满足条件:
①
; ②当
时,
恒成立.
(Ⅰ)判断
在
上的单调性,并加以证明;
(Ⅱ)若
,求满足
的x的取值范围.
答案
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)所谓抽象函数即为解析式不知的函数,抽象函数是高中数学的难点,对抽象函数的研究常要通过函数的性质来体现,如函数的单调性、周期性和奇偶性.利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略.(Ⅱ)利用
及
将
转化为
,再利用单调性即可解决.
试题解析:(Ⅰ)
为定义域上的增函数; 1分
设任意
且
,
因为
,所以
,
取
,则
,即
3分
因为
且
,所以
又当
时,
恒成立,所以
即
,所以
是
上的增函数. 6分
(Ⅱ)因为
,
可转换为
9分
所以
,解得
,所以x的取值范围为
12分
考点:函数性质的综合应用.
举一反三
【题文】已知函数
在
上是增函数,则实数
的取值范围是( )
【题文】给出定义:若
(其中
为整数),则
叫做离实数
最近的整数,记作
.在此基础上给出下列关于函数
的四个结论:
①函数
的定义域为
,值域为
;②函数
的图象关于直线
对称;③函数
是偶函数;④函数
在
上是增函数.
其中正确的是
(把你认为正确的结论的序号全写上)
【题文】(本小题满分10分)已知函数
(
是常数),且
,
.
(1)求
的值;
(2)当
时,判断
的单调性并证明;
(3)若不等式
成立,求实数
的取值范围.
【题文】(本小题满分10分)
已知函数
,
(1)若关于
的方程
只有一个实数解,求实数
的取值范围;
(2)若当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若
,求函数
在区间
上的最大值.
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