【题文】(本题满分14分)已知函数的值满足,对任意实数x、y都有,且f(-1)=1,f(27)=9,当0<x<1时,.(1)求的值,判断的奇偶性并证
题型:难度:来源:
【题文】(本题满分14分)已知函数
的值满足
,对任意实数x、y都有
,且f(-1)=1,f(27)=9,当0<x<1时,
.
(1)求
的值,判断
的奇偶性并证明;
(2)判断
在(0,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)若
且
,求a的取值范围。
答案
【答案】(1)
,
为偶函数;
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数,证明详见解析;
(3)
解析
【解析】
试题分析:(1)通过对条件
的观察,发现可对
、
适当赋值便可求出
及判断
的奇偶性;(2)设
,∵
,
,从而
,进而求出函数的单调性;(3)由题意得
,结合
,得到
,从而得到答案.
试题解析:解:(1)令
,可得
2分
令y=-1,则
,∵
,∴
,故
为偶函数. 5分
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数。 6分
证明:设
,∴
,由题设知
,且
,
∵
又∵
∴f(x
1)<f(x
2),
故f(x)在(0,+∞)上是增函数. 9分
(3)∵f(27)=9,而
∴
,∴
,
∵
,∴
,
∵
,∴
,∴
,即
,
∴
14分
考点:函数奇偶性和单调性的综合应用.
举一反三
【题文】下列函数中,在区间
上为增函数的是( )
【题文】(本小题满分14分)已知
,函数
,
.
(Ⅰ)求函数
的单调区间;
(Ⅱ)求证:对于任意的
,都有
.
【题文】已知
时,
,若
是锐角三角形,则一定成立的是( )
【题文】(本小题满分12分)已知
,函数
(1)若函数
为奇函数,且
,求实数
的取值范围;
(2)若对任意的
都有
成立,求实数k的取值范围.
【题文】若命题:
∈R,
-2ax+a>0”为真命题,则
的最小值是__________.
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