【题文】(本题满分14分)已知函数的值满足,对任意实数x、y都有,且f(-1)=1,f(27)=9,当0<x<1时,.(1)求的值,判断的奇偶性并证

【题文】(本题满分14分)已知函数的值满足,对任意实数x、y都有,且f(-1)=1,f(27)=9,当0<x<1时,.(1)求的值,判断的奇偶性并证

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【题文】(本题满分14分)已知函数的值满足,对任意实数x、y都有
,且f(-1)=1,f(27)=9,当0<x<1时,.
(1)求的值,判断的奇偶性并证明;
(2)判断在(0,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)若,求a的取值范围。
答案
【答案】(1)为偶函数;
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数,证明详见解析;
(3)
解析
【解析】
试题分析:(1)通过对条件的观察,发现可对适当赋值便可求出及判断的奇偶性;(2)设,∵,从而,进而求出函数的单调性;(3)由题意得,结合,得到,从而得到答案.
试题解析:解:(1)令,可得              2分
令y=-1,则,∵,∴,故为偶函数.    5分
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数。                 6分
证明:设,∴,由题设知,且

又∵
∴f(x1)<f(x2),
故f(x)在(0,+∞)上是增函数.                       9分
(3)∵f(27)=9,而
,∴
,∴
,∴,∴,即
               14分
考点:函数奇偶性和单调性的综合应用.
举一反三
【题文】下列函数中,在区间上为增函数的是(   )
A.B.
C.D.
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【题文】(本小题满分14分)已知,函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求证:对于任意的,都有.
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【题文】已知时,,若是锐角三角形,则一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
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【题文】(本小题满分12分)已知,函数
(1)若函数为奇函数,且,求实数的取值范围;
(2)若对任意的都有成立,求实数k的取值范围.
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【题文】若命题:∈R,-2ax+a>0”为真命题,则的最小值是__________.
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