【题文】(本小题满分14分)已知函数,.(1)求函数的单调递增区间;(2)若函数有两个零点,且,求实数的取值范围并证明随的增大而减小.
题型:难度:来源:
【题文】(本小题满分14分)已知函数
,
.
(1)求函数
的单调递增区间;
(2)若函数
有两个零点
,且
,求实数
的取值范围并证明
随
的增大而减小.
答案
【答案】(1)
的单调递增区间为
,
;(2)
的取值范围是
.证明详见解析.
解析
【解析】
试题分析:(1)导数大于0,则为增函数,导数小于0则为减函数.将
求导得
,当
时,
对
恒成立,
的单调递增区间为
;当
时,由
得:
,或
, 所以
的单调递增区间为
,
;(2)
,得
.显然
是
的极大值点,要使得
有两个零点,必须
>0, 即
,从而得
的取值范围是
.
是函数
的两个零点,所以
,
,相减消去
得:
.设
,则
,且
解得
,
.所以
. 令
,
,再利用导数可知
在
上单调递增,由此可得
随着
的增大而增大.下面再来研究
与
的关系.因为
是函数
的两个零点,即
,
,则
,
,
,
.设
,则
,所以
在
上单调递增,在
上单调递减. 对于任意的
,方程
都有两个解,这两个解就是
.如下图:
设
,设
,则必有
,其中
;
,其中
.因为
在
上单调递增,故由
,即
,可得
;
类似可得
,由
,则
,所以
.这说明
随着
的增大而减小.根据复合函数的单调性知
随a增大而减小.
试题解析:(1) ∵
,所以定义域为
且
, 1分
因为
,
(1)当
,又
,即
时,
对
恒成立,
∴
的单调递增区间为
; 2分
(2)当
,又
,即
时,
由
得:
,或
, 3分
所以
的单调递增区间为
,
; 4分
(2)当
时,由
,得
.
当
变化时,
,
的变化情况如下表:
举一反三
【题文】下列函数中,在
上单调递减的是( )
【题文】已知函数
,若存在
,当
时,
,则
的取值范围是( )
【题文】若函数
在
上是增函数,那么
的取值范围是____________.
【题文】(本小题满分12分)已知函数
.
(1)判断函数
的奇偶性,并证明;
(2)若对于任意
,不等式
恒成立,求正实数
的取值范围.
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