【题文】设函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)当时,求函数的单调区间;(3)在(2)的条件下,设函数,若对于,,使成立,求实数的取值范围.
题型:难度:来源:
【题文】设函数
.
(1)当
时,求曲线
在
处的切线方程;
(2)当
时,求函数
的单调区间;
(3)在(2)的条件下,设函数
,若对于
,
,使
成立,求实数
的取值范围.
答案
【答案】(1)
;(2)当
时,函数
的单调递增区间为
;单调减区间
(3)
.
解析
【解析】
试题分析:(1)利用导数的几何意义求曲线在点
处的切线方程,注意这个点的切点;(2)利用函数的单调性与导数的关系;若可导函数
在指定的区间
上单调递增(减),求参数问题,可转化为
恒成立,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到;(3)对于恒成立的问题,常用到以下两个结论:(1)
,(2)
.
试题解析:解:函数
的定义域为
,
(1)当
时,
,
,
∴
在
处的切线方程为
当
,或
,
,当
时,
故当
时,函数
的单调递增区间为
;单调减区间
当
时,由以上知函数
在
上为减函数,所以
在
上的最小值
若对于
使
成立
在
上的最小值不大于
在[1,2]上的最小值
(*)
又
①当
时,
在
上为减函数,
矛盾
②当
时,
,由
及
得,
③当
时,
在
上为减函数,
此时
综上,
的取值范围为
.
考点:(1)求曲线的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)恒成立的问题.
举一反三
【题文】已知函数
,
,若
,
,使得
,则实数
的取值范围是( )
【题文】已知函数
对一切
、
都有:
,并且当
时,
.
(1)判定并证明函数
在
上的单调性;
(2)若
,求不等式
的解集.
【题文】已知
是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围( )
【题文】已知函数f(x)的定义域为
,且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),
(1)求f(1),f(4), f(8)的值;
(2)函数f(x)当
时都有
.若
成立,求
的取值范围.
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