【题文】设函数.(1)若求的单调区间及的最小值;(2)若,求的单调区间;(3)试比较与的大小.其中,并证明你的结论.
题型:难度:来源:
【题文】设函数
.
(1)若
求
的单调区间及
的最小值;
(2)若
,求
的单调区间;
(3)试比较
与
的大小.其中
,并证明你的结论.
答案
【答案】(1)当
时,
的增区间为
,减区间为
,
;(2)当
时,
的递增区间是
,递减区间是
;当
,
的递增区间是
,递减区间是
;(3)由(1)可知,当
时,有
即
=
.
解析
【解析】
试题分析:(1)先求出导函数
,解不等式
和
,判断函数的单调性即可;
(2)先求出函数的定义域,然后求出函数的导函数,从导函数的二次项系数的正负;根据导函数根的大小,进行分类讨论;最后判断出导函数的符号;利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性.
(3)将比较所给的两个式子的大小关系,关键是要根据第(1)小问的结论适当的赋特值,建立不等关系:
.然后根据该不等放缩求和即可得出两者的大小关系.
试题解析:(1)
当
时,
在区间
上是递增的.
当
时,
在区间
上是递减的.
故当
时,
的增区间为
,减区间为
,
.
(2)若
,当
时,
则
在区间
上是递增的;
当
时,
,
在区间
上是递减的.
若
,当
时,
则
在区间
上是递增的,
在区间
上是递减的;
当
时,
,
在区间
上是递减的,而
在
处有意义; 则
在区间
上是递增的,在区间
上是递减的.
综上: 当
时,
的递增区间是
,递减区间是
;当
,
的递增区间是
,递减区间是
.
(3)由(1)可知,当
时,有
即
=
.
考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
举一反三
【题文】函数
的单调递增区间是( )
A. | B.(0,3) | C.(1,4) | D. |
【题文】函数
的定义域为
,
,对任意
,
,则
的解集为( )
【题文】若函数
(x)=
,则该函数在(-∞,+∞)上是( ).
A.单调递减无最小值 | B.单调递减有最小值 |
C.单调递增无最大值 | D.单调递增有最大值 |
【题文】已知偶函数
在区间
单调递减,则满足
的
的取值范围是( )
【题文】(1)用函数单调性定义证明:
在
上是减函数;
(2)求函数
的值域.
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