【题文】已知（1）判断奇偶性并证明；（2）判断单调性并用单调性定义证明；（3）若，求实数的取值范围．

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【题文】已知
（1）判断奇偶性并证明；
（2）判断单调性并用单调性定义证明；
（3）若，求实数的取值范围．

答案

【答案】（1）为上的奇函数；（2）在上单调递增；（3）或.

解析

【解析】
试题分析：(1)证明函数的奇偶性步骤：第一步，判断定义域是否关于原点对称，本题中函数的定义域为，关于原点对称；第二步，判断与的关系，本题中，所以原函数为上的奇函数；（2）本题中利用定义证明函数的单调性步骤：第一步，任取且，再比较与的大小关系，得到，所以在上单调递增得证；（3）解不等式一种是直接法，一种是单调性法.本题中用后者比较简单，首先移项，利用函数为奇函数，将原不等式变形为，再利用单调性，同解变形为，进一步解得结果.
试题解析：（1）定义域为，关于原点对称.            2分

为上的奇函数.                                    4分
设
则
又
即
在上单调递增.   8分
（3） 为上的奇函数.   
又在上单调递增.   或.    12分
考点：1.函数奇偶性的判断；（2）函数单调性的定义；（3）利用函数奇偶性和单调性解不等式.