【题文】函数是定义在R上的奇函数,当时,,则在上所有零点之和为 &
题型:难度:来源:
【题文】函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143046-72969.png)
是定义在R上的奇函数,当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143047-63143.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143047-48930.png)
,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143048-76188.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143048-27023.png)
上所有零点之和为
.
答案
【答案】8
解析
【解析】
试题分析:∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143049-72852.png)
,又∵函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143048-76188.png)
,∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143050-44688.png)
∴函数g(x)是偶函数,∴函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143050-57628.png)
的零点都是以相反数的形式成对出现的.∴函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143050-57628.png)
在[-6,6]上所有的零点的和为0,∴函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143050-57628.png)
在[-6,+∞)上所有的零点的和,即函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143050-57628.png)
在(6,+∞)上所有的零点之和.由0<x≤2时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143051-50321.png)
,即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143051-80809.png)
∴函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143052-63810.png)
在(0,2]上的值域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143052-28017.png)
,当且仅当x=2时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143052-63810.png)
=1;
又∵当x>2时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143053-88687.png)
∴函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143052-63810.png)
在(2,4]上的值域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143053-77503.png)
,当且仅当x=4时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143052-63810.png)
=
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143053-24231.png)
;
函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143052-63810.png)
在(4,6]上的值域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143053-53247.png)
,当且仅当x=6时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143052-63810.png)
=
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143054-80526.png)
;
函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143052-63810.png)
在(6,8]上的值域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143054-57500.png)
,当且仅当x=8时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143052-63810.png)
=
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143054-87632.png)
;
函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143052-63810.png)
在(8,10]上的值域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143055-24772.png)
,当且仅当x=10时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143052-63810.png)
=
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143055-21168.png)
;
故
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143056-80067.png)
在(8,10]上恒成立,
注意到
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143048-76188.png)
的零点就是函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143052-63810.png)
的图象与曲线
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143056-93343.png)
交点的横坐标,
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143048-76188.png)
在(8,10]上无零点;
同理
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143048-76188.png)
在(10,12]上无零点;
依此类推,函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143048-76188.png)
在(8,+∞)无零点;
综上函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143048-76188.png)
在[-6,+∞)上的所有零点之和为8;故应填入:8.
如下图:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143056-56615.jpg)
考点:1.奇偶性与单调性的综合;2.函数的零点.
举一反三
【题文】若函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143017-90095.png)
是奇函数,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326143018-48637.png)
的值为( )
【题文】已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326142943-35718.png)
则实数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326142943-59423.png)
的取值范围是( )
【题文】下列函数中,既是偶函数又在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326142916-53024.png)
上单调递增的函数是( )
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