【解析】(1)证明 设
x
1,x
2∈R,且x
1<x
2,f(x
2)=f[x
1+(x
2-x
1)]=f(x
1)+f(x
2-x
1).
∵x
2-x
1>0,∴f(x
2-x
1)<0.∴f(x
2)=f(x
1)+f(x
2-x
1)<f(x
1).
故f(x)是R上的减函数.
(2)证明 ∵f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立,∴可令a=-b=x,则有f(x)+f(-x)=f(0),
又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而
x∈R,f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函数.
(3)解 由于y=f(x)是R上的单调递减函数,
∴y=f(x)在[m,n]上也是减函数,故f(x)在[m,n]上的最大值f(x)
max=f(m),最小值f(x)
min=f(n).
由于f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=…=nf(1),同理f(m)=mf(1).
又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)="-m," f(n)=-n.
∴函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m].