【题文】已知函数,将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐不变),得到函数的图象,则关于有下列命题: ①函数是奇函数;
题型:难度:来源:
【题文】已知函数
,将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍(纵坐不变),得到函数
的图象,则关于
有下列命题:
①函数
是奇函数;
②函数
不是周期函数;
③函数
的图像关于点(π,0)中心对称;
④ 函数
的最大值为
. 其中真命题为____________.
答案
【答案】③
解析
【解析】
试题分析:由题知
=
,所以
=
,因为
=
=
=
是偶函数,故①错,
因为
=
=
=
,周期为
,故②错,
因为设(
)是函数
图像上任意一点,则
,该点关于(π,0)的对称点为(
),所以
=
=
=-
=
,即点(
)也在函数
图像上,故
图像关于(π,0)对称,③正确;
因为
=
=
,令
,则-1≤t≤1,
=
=
(-1≤t≤1),所以
=
=
,当-1≤
≤-
或
≤
≤1时,
<0,当-
<
<
时,
>0,所以该函数在(-1,-
),(
,1)上是减函数,在(-
,
)是增函数,当
=
时,
取极大值
,因为当
=-1时,y=0,所以
的最大值为
,故④错,所以正确的命题为③.
考点:周期变换,函数的周期性、奇偶性、对称性,函数最值,转化与化归思想
举一反三
【题文】设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则
=( )
【题文】已知函数
,将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍(纵坐不变),得到函数
的图象,则关于
有下列命题:
①函数
是奇函数;
②函数
不是周期函数;
③函数
的图像关于点(π,0)中心对称;
④ 函数
的最大值为
. 其中真命题为____________.
【题文】已知函数
与函数
的图象关于
轴对称,若存在
,使
时,
成立,则
的最大值为( )
【题文】已知函数
满足
,
,且当
时,
.
(1)证明:函数
是周期函数;(2)若
,求
的值.
【题文】定义在R上的函数
具有下列性质:①
;②
;③
在
上为增函数,则对于下述命题:
①
为周期函数且最小正周期为4;
②
的图像关于
轴对称且对称轴只有1条;
③
在
上为减函数.
正确命题的个数为( )
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