【题文】已知二次函数f(x)=ax
2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切.
(I)求f(x)的解析式;
(II)已知k的取值范围为[
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,+∞),则是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)∵f(x+1)为偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),
即a(-x+1)
2+b(-x+1)=a(x+1)
2+b(x+1)恒成立,
即(2a+b)x=0恒成立,∴2a+b=0,∴b=-2a,∴f(x)=ax
2-2ax,
∵函数f(x)的图象与直线y=x相切,
∴二次方程ax
2-(2a+1)x=0有两相等实数根,∴Δ=(2a+1)
2-4a×0=0,
∴a=
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,f(x)=-
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x
2+x. ......5分
(2)∵f(x)=-
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(x-1)
2+
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≤
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,
∴[km,kn]?(-∞,
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],∴kn≤
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093742-88024.gif)
,又k≥
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093742-66654.gif)
,∴n≤
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093743-36517.gif)
≤
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093743-91893.gif)
,
又[m,n]? (-∞,1],f(x)在[m,n]上是单调增函数,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093743-82648.gif)
即-
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093743-91332.gif)
即m,n为方程-
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x
2+x=kx的两根,解得x
1=0,x
2=2-2k.∵m<n且k≥
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093742-66654.gif)
.
故当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093742-66654.gif)
≤k<1时,[m,n]="[0,2-2k];" 当k>1时,[m,n]=[2-2k,0]; 当k=1时,[m,n]不存在.
【题文】已知二次函数f(x)=ax
2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切.
(I)求f(x)的解析式;
(II)已知k的取值范围为[
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093652-10347.gif)
,+∞),则是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.
【题文】函数
y=3
x2+2(
a-1)
x+
b在区间(-∞,1)上是减函数,那么( )
A.a∈(-∞,-1) | B.a=2 |
C.a≤-2 | D.a≥2 |
【题文】函数
y=3
x2+2(
a-1)
x+
b在区间(-∞,1)上是减函数,那么( )
A.a∈(-∞,-1) | B.a=2 |
C.a≤-2 | D.a≥2 |
【题文】设对任意实数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093634-84895.png)
,不等式
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093635-66493.png)
恒成立,则实数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093635-38381.png)
的取值范围是( )
【题文】设对任意实数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093630-48222.png)
,不等式
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093630-44325.png)
恒成立,则实数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327093631-69821.png)
的取值范围是( )