【题文】已知函数,,且点处取得极值.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)若关于的方程在区间上有解,求的取值范围;(Ⅲ)证明:.

【题文】已知函数,,且点处取得极值.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)若关于的方程在区间上有解,求的取值范围;(Ⅲ)证明:.

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【题文】已知函数,,且处取得极值.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若关于的方程在区间上有解,求的取值范围;
(Ⅲ)证明:
答案
【答案】(1);(2);(3)证明见解析.
解析
【解析】
试题分析:(1)求导,利用值;(2)分离常数,构造函数,转化为求函数的值域问题;(3)作差构造函数,将证明不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.
解题思路:(1)求函数最值的步骤:①求导函数;②求极值;③比较极值与端点值,得出最值;
(2)若函数在某区间上单调递增,则在该区间恒成立;“若函数在某区间上单调递减,则在该区间恒成立.
试题解析:(Ⅰ)∵, ∴
∵函数在点处取得极值,
,即当
,则得.经检验符合题意                     5分
(Ⅱ)∵,∴,
.
,                              6分
.
∴当时,的变化情况表:

1
(1,2)
2
(2,3)
3

 
+
0
-
 

 
举一反三
【题文】已知函数,,且处取得极值.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若关于的方程在区间上有解,求的取值范围;
(Ⅲ)证明:
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【题文】方程x2+mx+1=0的两根,一根大于2,另一根小于2的充要条件是______.
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【题文】方程x2+mx+1=0的两根,一根大于2,另一根小于2的充要条件是______.
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【题文】已知[x]表示不超过实数x的最大整数,为取整函数,是方程的根 (e为自然对数的底数),则等于 (   )
A.4B.3C.2D.1
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