【题文】已知函数,,且点处取得极值．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；（Ⅲ）证明：．

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【题文】已知函数,,且点处取得极值．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：．

答案

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

解析

【解析】
试题分析：（1）求导，利用求值；（2）分离常数，构造函数，转化为求函数的值域问题；（3）作差构造函数，将证明不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.
解题思路:（1）求函数最值的步骤：①求导函数；②求极值；③比较极值与端点值，得出最值；
（2）若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立.
试题解析：（Ⅰ）∵， ∴
∵函数在点处取得极值，
∴，即当时，
∴，则得.经检验符合题意                     5分
（Ⅱ）∵,∴,
∴.
令,                              6分
则.
∴当时，随的变化情况表：

	1	（1,2）	2	（2，3）	3
		+	0	-