【解析】
试题分析:令z=1-x,即x=1-z;则
=
,y=2sinπx=2sinπ(1-z)=2[sinπcosπz-cosπsinπz]
=2sinπz.因-2≤x≤4,故-4≤-x≤2,-3≤1-x≤3,即-3≤z≤3.所以y=
与y=2sinπz均为[-3,3]上的奇函数,令f(z)=
-2sinπz,则若有z
0使得f(z)=0,则必有-z
0也使f(z)=0成立.此时x的值分别为1-x
0,1+x
0,它们的和为2;
另外由于y=
有意义,故z≠0,这样排除了交点为奇数个的情形.
现在问题转化为求f(z)=
-2sinπz在[-3,3]上的零点有几对的情况.不妨只看z>0一边,简单的画一下y=
与y=2sinπz的图像,显然当z=
时,
=2,2sinπz=2这是一个交点,即(1,0)并且此时y=
的切线斜率小于0,而y=2sinπz的切线斜率等于0,这样两者在 (
,1)上还有一个交点;显然在(2,
),(
,3)上还各有一个交点.共有四对交点,结果是8.
考点:1.函数的图象;2.函数导数的性质.
【题文】已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的图像如图所示,给出下列四个命题:
①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根 ②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根
③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根
④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根
其中正确的命题是
【题文】已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的图像如图所示,给出下列四个命题:
①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根 ②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根
③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根
④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根
其中正确的命题是
【题文】设函数
,记
,若函数
至少存在一个零点,则实数
的取值范围是
.