一质量m=2kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R=1m的光滑圆环，如图所示，试求：（g=10m/s2）（1）小球滑至圆环顶

题型：不详难度：来源：

一质量m=2kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R=1m的光滑圆环，如图所示，试求：（g=10m/s²）
（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力；
（2）小球至少应从多高处由静止滑下才能越过圆环最高点；
（3）小球从h"=2m处由静止滑下时，脱离圆环的位置和圆心的连线与竖直方向夹角的余弦．

答案

（1）设小球滑至环顶时的速度为υ₁，所受环的压力为N．
小球运动过程中机械能守恒：mg(h-2R)=

1

2

m

υ

21

①
在顶点由圆周运动的知识有：mg+N=m

υ 21

R

②
联立①②解得：N=mg(

2h

R

-5)（
代入数值解得：N =2×10(

2×3.5

1

-5)N=40N
由牛顿第三定律知小球对环的压力大小为：N"=N=40N
（2）当圆环对小球的压力为零时，仅由重力充当向心力，对应的速度υ₂为越过圆环最高点的最小速度，对应的高度h₁为最低高度，由机械能守恒定律及圆周运动知识有：mg(h1-2R)=

1

2

m

υ

22

③
mg=m

υ 22

R

④
联立③④解得：h1=

5

2

R=2.5m
（3）由于h"＜h₁，故球在还没有到达顶端前即与环脱离，设脱离圆环时的位置半径与竖直方向的夹角为α，选轨道最低点为零势点，由机械能守恒定律及圆周运动知识有：mgh′=

1

2

mυ2+mgR(1+cosα)⑤
mgcosα=m

υ2

R

⑥
联立⑤⑥解得：cosα=

2(h′-R)

3R

=

2

3

答：（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力为40N．
（2）小球至少应从2.5m高处由静止滑下才能越过圆环最高点．
（3）小球从h"=2m处由静止滑下时，脱离圆环的位置和圆心的连线与竖直方向夹角的余弦为

2

3

．