在如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于纸面向里，大小为B，x轴下方有一匀强电场，电场强度的大小为E，方向与y轴的夹角θ为45°且斜向上方．现有

题型：江苏模拟难度：来源：

在如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于纸面向里，大小为B，x轴下方有一匀强电场，电场强度的大小为E，方向与y轴的夹角θ为45°且斜向上方．现有一质量为m、电量为q的正离子，以速度v₀由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点进入电场区域，该离子经C点时的速度方向与x轴夹角为45°．不计离子的重力，设磁场区域和电场区域足够大． 求：
（1）C点的坐标；
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间；
（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角．

答案

（1）磁场中带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，故有qvB=m

v2

r

得  r=

mv

qB

 粒子运动轨迹如图所示，由几何知识知，
   xc=-(r+rcos45o)=-

(2+ 2 )mv

2qB

故C点坐标为（-

(2+ 2 )mv

2qB

，0）
（2）T=

2πm

qB

设粒子从A到C的时间为t₁，由几何知识知：t1=

5

8

T=

5

4

πm

qB

设粒子从进入电场到返回C的时间为t₂，其在电场中做匀变速运动，由牛顿第二定律和运动学公式，有
   qE=ma  及2v₀=at₂
联立（6）（7）解得  t2=

2mv0

qE

设粒子再次进入磁场后在磁场中运动的时间为t₃，由题意知t3=

1

4

T=

πm

2qB

所以粒子从A点到第三次穿越x轴的时间为t=t1+t2+t3=

7πm

4qB

+

2mv0

qE

（3）粒子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程是在电场中做类平抛的运动，即沿着v₀的方向（设为x′轴）以v₀做匀速运动，沿着qE的方向（设为y′轴）做初速度为0的匀加速运动
  即x"=v₀t
    y′=

1

2

qE

m

t2  
    vy′=

qE

m

t
设离子第四次穿越x轴时速度的大小为v，速度方向与电场方向的夹角为α．
由图中几何关系知 

y′

x′

=cos450 

y′

x′

=cos45°，v=

v 20 +vy′2

，tanα=

v0

vy′

综合上述得v=

5

v0，α=arctan

1

2

答：（1）C点的坐标是（-

(2+ 2 )mv

2qB

，0）；
    （2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间是

7πm

4qB

+

2mv0

qE

；
    （3）离子第四次穿越x轴时速度的大小为

5

v0，速度方向与电场方向的夹角α=arctan

1

2

．