如图所示，一长为L的薄壁玻璃管放置在水平面上，在玻璃管的a端放置一个直径比玻璃管直径略小的小球，小球带电荷量为-q、质量为m．玻璃管右边的空间存在方向竖直向上、

题型：宜昌二模难度：来源：

如图所示，一长为L的薄壁玻璃管放置在水平面上，在玻璃管的a端放置一个直径比玻璃管直径略小的小球，小球带电荷量为-q、质量为m．玻璃管右边的空间存在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场．磁场的左边界与玻璃管平行，右边界足够远．玻璃管带着小球以水平速度v0垂直于左边界向右运动，由于水平外力的作用，玻璃管进入磁场后速度保持不变，经一段时间后小球从玻璃管b端滑出并能在水平面内自由运动，最后从左边界飞离磁场．设运动过程中小球的电荷量保持不变，不计一切阻力．求：
（1）小球从玻璃管b端滑出时速度的大小；
（2）从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程中，外力F随时间t变化的关系；
（3）小球飞离磁场时速度的方向．

答案

（1）如图所示，小球管中运动的加速度为：
 a=

Fy

m

=

Bv0q

m

…①
设小球运动至b端时的y方向速度分量为vy，
则：

v

2y

=2aL… ②
又：v=

v 20 + v 2y

…③
由①～③式，可解得小球运动至b端时速度大小为：
v=

2Bv0q m L+ v 20

…④
（2）由平衡条件可知，玻璃管受到的水平外力为：
  F=F_x=Bv_yq…⑤
  v_y=at=

Bv0q

m

t… ⑥
由⑤～⑥式可得外力随时间变化关系为：F=

B2v0q2

m

t… ⑦
（3）设小球在管中运动时间为t₀，小球在磁场中做圆周运动的半径为R，轨迹如图所示，
t₀时间内玻璃管的运动距离 x=v₀t₀…  ⑧
  L=

1

2

a

t

20

…⑨
由牛顿第二定律得：qvB=m

v2

R

… ⑩
由几何关系得：sinα=

x-x1

R

…（11）
  

x1

R

=

vy

v

…（12）
由①～②、⑧～（12）式可得：sinα=0
故α=0°，即小球飞离磁场时速度方向垂直于磁场边界向左．
答：
（1）小球从玻璃管b端滑出时速度的大小是

2Bv0q m L+ v 20

；
（2）从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程中，外力F随时间t变化的关系是：F=

B2v0q2

m

t；
（3）小球飞离磁场时速度方向垂直于磁场边界向左．