如图所示，直角坐标系xoy所决定的平面内，在平行于x轴的虚线MN上方、x＜0的区域存在着沿x轴正方向的匀强电场；在x＞0的某区域存在方向垂直于坐标平面的圆形有界

题型：不详难度：来源：

如图所示，直角坐标系xoy所决定的平面内，在平行于x轴的虚线MN上方、x＜0的区域存在着沿x轴正方向的匀强电场；在x＞0的某区域存在方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场（图中未画出）．现有一比荷k=

q

m

=10²C/kg的带正电粒子从虚线MN上的P处，以大小υ₀=20m/s、方向平行于y轴的初速度射入电场，并恰好从原点O处射出，射出时的速度大小υ=40m/s，此后粒子先做匀速运动，然后进入圆形有界磁场，粒子从磁场中射出时，出射点为Q且射出时的速度方向沿y轴负方向．已知磁场的磁感应强度B=1.2T，不计粒子的重力，忽略粒子运动对电场、磁场的影响．求：
（1）粒子从O点射出时速度υ与y轴间的夹角θ．
（2）P、O两点间的电势差U．
（3）Q点的横坐标x．
（4）圆形有界匀强磁场的最小面积S．

答案

（1）带电粒子在匀强电场中y轴方向上做匀速直线运动，x轴方向上做匀加速直线运动，将O点的速度分解，有：
cosθ=

v0

v

=

1

2

．
解得θ=60°．
（2）根据动能定理得，qU=

1

2

mv2-

1

2

mv02
因为比荷k=

q

m

=10²C/kg
代入数据解得：U=6V．
（3）根据qvB=m

v2

R

带电粒子在匀强磁场中的轨道半径：R=

mv

qB

=

40

1.2

×

1

100

=

1

3

m．
根据几何关系得：x=R+

R

sin30°

=3R=1m．
（4）以粒子在匀强磁场中运动的轨迹的初末两点连线为圆的直径，该圆的面积为匀强磁场的最小面积．
该圆的半径r=Rsin60°=

3

2

×

1

3

=

3

6

m
则S=πr2=

π

12

m2．
答：（1）粒子从O点射出时速度υ与y轴间的夹角θ为60°．
（2）P、O两点间的电势差U为6V．
（3）Q点的横坐标x=1m．
（4）圆形有界匀强磁场的最小面积为

π

12

m2．