某游乐场过山车模型简化为如图所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，可视为质点的过山车从斜轨道

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某游乐场过山车模型简化为如图所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．
（1）若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少？
（2）考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过多少？

答案

（1）设过山车总质量为M，从高度h₁处开始下滑，恰能以v₁过圆周轨道最高点．
在圆轨道最高点有：Mg=M

v12

R

…①
运动过程机械能守恒：Mgh1=2MgR+

1

2

Mv12…②
由①②式得：
h₁=2.5R                 
高度h至少要2.5R．
（2）设从高度h₂处开始下滑，过圆周最低点时速度为v₂，游客受到的支持力最大是F_N=7mg．
最低点：FN-mg=m

v22

R

…③
运动过程机械能守恒：mgh2=

1

2

mv22…④
由③④式得：
h₂=3R           
高度h不得超过3R．
答：（1）若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少是2.5R．
（2）考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过3R．