1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．

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1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直．A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为+q，在加速器中被加速，加速电压为U．加速过程中不考虑相对论效应和重力作用．
（1）求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比；
（2）求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t；
（3）实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制．若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为B_m、f_m，试讨论粒子能获得的最大动能E_km．

答案

（1）设粒子第1次经过狭缝后的半径为r₁，速度为v₁
qU=

1

2

mv₁²
qv₁B=m

v 21

r1

解得  r1=

1

B

2mU q

同理，粒子第2次经过狭缝后的半径  r2=

1

B

4mU q

则 r2：r1=

2

：1．
（2）设粒子到出口处被加速了n圈

2nqU= 1 2 mv2 qvB=m v2 R T= 2πm qB t=nT

解得  t=

πBR2

2U

．
（3）加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即f=

qB

2πm

当磁场感应强度为B_m时，加速电场的频率应为fBm=

qBm

2πm

粒子的动能EK=

1

2

mv2
当f_Bm≤f_m时，粒子的最大动能由B_m决定qvmBm=m

v 2m

R

解得Ekm=

q2 B 2m R2

2m

当f_Bm≥f_m时，粒子的最大动能由f_m决定v_m=2πf_mR解得 EKm=2π2m

f

2m

R2
答：（1）r₂：r₁=

2

：1 （2）t=

πBR2

2U

 （3）当f_Bm≤f_m时，E_Km=

q2 B 2m R2

2m

；当f_Bm≥f_m时，E_Km=2π2m

f

2m

R2．