如图甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径相等的圆弧，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径)，分别与上下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L可作

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如图甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径相等的

圆弧，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径)，分别与上下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L可作伸缩调节。下圆弧轨道与地面相切，其中D、A分别是上下圆弧轨道的最高点和最低点，整个轨道固定在竖直平面内。一小球多次以某一速度从A点水平进入轨道而从D点水平飞出。今在A、D两点各放一个压力传感器，测试小球对轨道A、D两点的压力，计算出压力差ΔF。改变BC的长度L，重复上述实验，最后绘得的ΔF－L图象如图乙所示。(不计一切摩擦阻力，g取10 m/s²)
(1)某一次调节后，D点的离地高度为0.8 m，小球从D点飞出，落地点与D点的水平距离为2.4 m，求小球经过D点时的速度大小；
(2)求小球的质量和弯曲圆弧轨道的半径。

答案

解：(1)小球在竖直方向做自由落体运动，有H_D＝

gt²在水平方向做匀速直线运动，有：x＝v_Dt
得：

(2)设轨道半径为r，A到D过程机械能守恒，有：

mv_A²＝

mv_D²＋mg(2r＋L) ①
在A点：F_A－mg＝m

②
在D点：F_D＋mg＝m

③
由①②③式得：ΔF＝F_A－F_D＝6mg＋2mg

由图象纵截距得：6mg＝12 N，得m＝0.2 kg
当L＝0.5 m时，ΔF＝17 N，解得：r＝0.4 m

举一反三

临沂城为了解决交通问题，修建了许多立交桥，如图所示，桥面为圆弧形的立交桥AB，横跨在水平路面上，半径R=260 m，桥高h=20 m。可以认为桥的两端A、B与水平路面的连接处是平滑的。一辆小汽车的质量m=1040 kg，以25 m/s的速度冲上圆弧形的立交桥的A点，假设小汽车在A处就关闭了发动机，不计车受到的阻力，试计算：（g取10 m/s²）
(1)小汽车冲到桥顶时的速度是多大？
(2)小汽车在桥顶处对桥面的压力的大小。

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如图所示，将一质量为m=0.1 kg的小球自水平平台右端O点以初速度v₀水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好通过最高点C，圆轨道ABC的形状为半径R=2.5 m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径。（sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度g取10 m/s²）求：
(1)小球经过C点的速度大小；
(2)小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小；
(3)平台末端O点到A点的竖直高度H。