如图，倾角为θ的斜面固定．有n个质量都为m的相同的小木块（可视为质点）放置在斜面上．相邻两小木块间距离都为l，最下端的木块距底端也是l，小木块与斜面间的动摩擦因

题型：不详难度：来源：

如图，倾角为θ的斜面固定．有n个质量都为m的相同的小木块（可视为质点）放置在斜面上．相邻两小木块间距离都为l，最下端的木块距底端也是l，小木块与斜面间的动摩擦因数都为μ．在开始时刻，第一个小木块从斜面顶端以初速度v₀沿斜面下滑，其余所有木块都静止，由于第一个木块的下滑将依次引起一系列的碰撞．设每次碰撞的时间极短，在每次碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动，直到最后第n个木块到达底端时，速度刚好为零．已知重力加速度为g．求：
（1）第一次碰撞后小木块1的速度大小v；
（2）从第一个小木块开始运动到第一次碰撞后系统损失的机械能△E；
（3）发生一系列碰撞后，直到最后第n个木块到达底端，在整个过程中，由于碰撞所损失的总机械能△E_总．

答案

（1）设小木块1碰前的速度为v₁，从开始运动到碰前，
根据动能定理：mglsinθ-μmglcosθ=

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

20

    对小木块1和2，由动量守恒  mv₁=2mv      
    则有    v=

1

2

v 20 +2gl(sinθ-μcosθ)

  
（2）碰撞前损失的机械能为△E₁=μmglcosθ    
    因碰撞损失的机械能为   △E2=

1

2

m

v

21

-

1

2

•2mv2    
   则有△E=△E₁+△E₂=

1

4

m

v

20

+

1

2

mgl(sinθ-μcosθ)
   （3）对n个木块碰撞的全过程
    重力做的总功     W_G=mglsinθ（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

2

mglsinθ
    克服摩擦做的总功
      W_f=μmglcosθ（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

2

μmglcosθ      
    根据功与能的关系   WG+

1

2

m

v

20

=Wf+△E总   
     由以上各式求出   △E总=

1

2

m

v

20

+

n(n+1)

2

mgl（sinθ-μcosθ）    
答：（1）第一次碰撞后小木块1的速度大小 v=

1

2

v 20 +2gl(sinθ-μcosθ)

；
（2）从第一个小木块开始运动到第一次碰撞后系统损失的机械能△E=△E₁+△E₂=

1

4

m

v

20

+

1

2

mgl(sinθ-μcosθ)；
（3）发生一系列碰撞后，直到最后第n个木块到达底端，在整个过程中，由于碰撞所损失的总机械能  △E总=

1

2

m

v

20

+

n(n+1)

2

mgl（sinθ-μcosθ）．