如图（a）所示，在坐标平面xOy内存在磁感应强度为B=2T的匀强磁场，OA与OCA为置于竖直平面内的光滑金属导轨，其中OCA满足曲线方程x=0.5sin(π3y

题型：不详难度：来源：

如图（a）所示，在坐标平面xOy内存在磁感应强度为B=2T的匀强磁场，OA与OCA为置于竖直平面内的光滑金属导轨，其中OCA满足曲线方程x=0.5sin(

π

3

y)m，C为导轨的最右端，导轨OA与OCA相交处的O点和A点分别接有体积可忽略的定值电阻R₁和R₂，其中R₁=4Ω、R₂=12Ω．现有一质量为m=0.1kg的足够长的金属棒MN在竖直向上的外力F作用下，以v=3m/s的速度向上匀速运动，设棒与两导轨接触良好，除电阻R₁、R₂外其余电阻不计，g取10m/s²，求：
（1）金属棒MN在导轨上运动时感应电动势的最大值；
（2）请在图（b）中画出金属棒MN中的感应电流I随时间t变化的关系图象；
（3）当金属棒MN运动到y=2.5m处时，外力F的大小；
（4）若金属棒MN从y=0处，在不受外力的情况下，以初速度v=6m/s向上运动，当到达y=1.5m处时，电阻R₁的瞬时电功率为P₁=0.9W，在该过程中，金属棒克服安培力所做的功．

答案

（1）当金属棒MN匀速运动到C点时，电路中感应电动势最大
金属棒MN接入电路的有效长度为导轨OCA形状满足的曲线方程中的x值．
因此接入电路的金属棒的有效长度为L=x=0.5sin

π

3

y
则有．L_m=x_m=0.5m
感应电动势，E_m=BL_mv      
解得：E_m=3.0V
（2）闭合电路欧姆定律，Im=

Em

R总

且R总=

R1R2

R1+R2

=3Ω，
解得：I_m=1.0A，
如图所示，
（3）金属棒MN匀速运动中受重力mg、安培力F_安、外力F_外作用
当y=2.5m时，x=0.5sin

5π

6

=0.25m
受力平衡，F外=F安+mg=BIL+mg=

B2x2v

R总

+mg=1.25N
（4）当y=1.5m时，x=0.5sin

π

2

=0.5m
此时P₁=0.9W，所以P总=

R1+R2

R2

P1=1.2W
P总=F安v=

B2x2vt2

R总

=1.2W     
得此时vt2=3.6（m/s）²
选取从y=0处到达y=1.5m处时，根据动能定理，则有：W克=

1

2

m

v

20

-

1

2

m

v

2t

解得：W_克=1.62J
答：（1）金属棒MN在导轨上运动时感应电动势的最大值为3V；
（2）请在图（b）中画出金属棒MN中的感应电流I随时间t变化的关系图象如图所示；
（3）当金属棒MN运动到y=2.5m处时，外力F的大小为1.25N；
（4）若金属棒MN从y=0处，在不受外力的情况下，以初速度v=6m/s向上运动，当到达y=1.5m处时，电阻R₁的瞬时电功率为P₁=0.9W，在该过程中，金属棒克服安培力所做的功为1.62J．