一个质量为m、直径为d、电阻为R的金属圆环，在范围足够大的磁场中竖直向下落，磁场的分布情况如图所示.已知磁感应强度竖直方向分量By的大小只随高度y变化，其随高度

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一个质量为m、直径为d、电阻为R的金属圆环，在范围足够大的磁场中竖直向下落，磁场的分布情况如图所示.已知磁感应强度竖直方向分量B_y的大小只随高度y变化，其随高度y变化关系为B_y=B₀(1+ky)(此处k为比例常数，且k＞0)，其中沿圆环轴线的磁场方向始终竖直向上.金属圆环在下落过程中的环面始终保持水平，速度越来越大，最终稳定为某一数值，称为收尾速度.求：

(1)圆环中感应电流的方向；
(2)圆环收尾速度的大小.

答案

(1)顺时针(俯视观察)
(2)16mgR/π²k²B₀²d⁴

解析

(1)根据楞次定律可知感应电流的方向为顺时针(俯视观察).
(2)圆环下落高度为y时的磁通量为
Φ=BS=Bπ

=B₀(1+ky)π

①
设收尾速度为v_m，以此速度运动Δt时间内磁通量的变化为：ΔΦ=ΔBS=B₀kπ

v_mΔt ②
根据法拉第电磁感应定律有
E=

=B₀kπ

v_m ③
圆环中感应电流的电功率为

                                      ④
重力做功的功率为P_G=mgv_m                                              ⑤
根据能的转化和守恒定律有P_E=P_G                                        ⑥
由①—⑥解得v_m=16mgR/π²k²B₀²d⁴.

举一反三

如右图所示是两个同心放置的金属圆环a和b，一条形磁铁穿过圆心且与环面垂直.则穿过两环的磁通量的大小关系为（）

A．Φ_a＞Φ_b	B．Φ_a＜Φ_b
C．Φ_a=Φ_b	D．无法比较

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如图5所示，在一固定水平放置的导体闭合圆环上方，有一条形磁铁，从离地面高h处，由静止开始下落，最后落在地面上.下落过程中磁铁从中心穿过圆环，而不与圆环接触.若不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)

图5

A．磁铁下落过程中，圆环中的电流方向先顺时针后逆时针(从上向下看圆环)

B．磁铁下落过程中，磁铁的加速度始终小于g

C．磁铁下落过程中，磁铁的机械能不变

D．磁铁落地时的速率有可能大于2gh

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如图7所示，A、B为大小、形状均相同且内壁光滑、使用不同材料制成的圆管，竖直固定在相同高度.两个相同的磁性小球同时从A、B管上端的管口无初速释放，穿过A管的小球比穿过B管的小球先落到地面.下面对两管的描述中可能正确的是（　　）

图7

A．A管是用塑料制成的，B管是用铜制成的

B．A管是用铅制成的，B管是用胶木制成的

C．A管是用胶木制成的，B管是用塑料制成的

D．A管是用胶木制成的，B管是用铅制成的

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如图9所示，竖直平行金属导轨MN、PQ上端接有电阻R，金属杆质量为m，跨在平行导轨上，垂直导轨平面的水平匀强磁场为B，不计ab与导轨电阻，不计摩擦，且ab与导轨接触良好.若ab杆在竖直向上的拉力F作用下匀速上升，则以下说法正确的是（　　）

图9

A．拉力所做的功等于电阻R上产生的热

B．杆ab克服安培力做的功等于电阻R上产生的热

C．电流所做的功等于重力势能的增加量

D．拉力与重力做功的代数和等于电阻R上产生的热

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如图10所示，在水平面上有一固定的U形金属框架，框架上置一金属杆ab，不计摩擦.在竖直方向上有匀强磁场，则（　　）

图10

A．若磁场方向竖直向上并增大时，杆ab将向右移动

B．若磁场方向竖直向上并减小时，杆ab将向右移动

C．若磁场方向竖直向下并增大时，杆ab将向右移动

D．若磁场方向竖直向下并减小时，杆ab将向左移动

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