关于x的一元二次方程x2+（2k-3）x+k2=0有两个不相等的实数根α、β． （1）求k的取值范围； （2）若α+β+αβ=6，求（α-β）2+3αβ-5的值．

题目

关于x的一元二次方程x²+（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根α、β．
（1）求k的取值范围；
（2）若α+β+αβ=6，求（α-β）²+3αβ-5的值．

答案

（1）∵方程x²+（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0即（2k-3）²-4×1×k²＞0
解得k＜

3

4

；
（2）由根与系数的关系得：α+β=-（2k-3），αβ=k²．
∵α+β+αβ=6，
∴k²-2k+3-6=0
解得k=3或k=-1，
由（1）可知k=3不合题意，舍去．
∴k=-1，
∴α+β=5，αβ=1，
故（α-β）²+3αβ-5=（α+β）²-αβ-5=19．