已知二次函数f（x）=ax2+bx（a、b为常数且a≠0）满足条件：f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根． （1）求f（x）的解析式； （2）函数f（x）在（x∈[t，t+1]，t∈

题目

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a、b为常数且a≠0）满足条件：f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在（x∈[t，t+1]，t∈R）的最大值为u（t），求u（t）解析式．

答案

（1）∵f（-x+5）=f（x-3），∴函数的对称轴为x=1，即−

b

2a

=1
∵方程f（x）=x有等根，∴△=（b-1）²=0
∴b=1，a=-

1

2

∴f(x)＝−

1

2

x2+x．
（2）∵f(x)＝−

1

2

x2+x的开口向下，对称轴为x=1
∴当t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]上为减函数，最大值为u（t）=f（t）=-

1

2

t²+t
当0＜t＜1时，函数f（x）最大值为u（t）=f（1）=

1

2

当t≤0时，函数f（x）在[t，t+1]上为增函数，最大值为u（t）=f（t+1）=-

1

2

t²+

1

2

∴u(t)＝

− 1 2 t2+t        (t≥ 1) 1 2 − 1 2 t2+ 1 2     (t≤ 0)

(0＜t＜1)

（1）先由f（-x+5）=f（x-3）得函数对称轴，再由方程f（x）=x有等根，得方程f（x）=x的判别式等于零，最后解方程即可
（2）根据对称轴与区间[t，t+1]的相对位置关系和函数的单调性，分别讨论函数的最值，最后写成分段函数形式即可

本题考点：二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：本题考查了二次函数解析式的求法和二次函数在轴定区间动状态下的最值求法，解题时要熟练掌握二次函数的图象特征，准确分类讨论．