证明方程x的3次方-3x+1=0在区间（0,1）内有唯一的实根

题目

证明方程x的3次方-3x+1=0在区间（0,1）内有唯一的实根

答案

证明：令f(x)=x^3-3x+1
则f'(x)=3x²-3
∵0＜x＜1,∴f'(x)＜0
即f(x)在（0,1）上是减函数
而f(0)=1＞0,f(1)=-1＜0
由零点的性质可知f(x)=0在（0,1）上一定有零点
其又是单调函数,所以只可能有1个零点
所以方程在区间（0,1）上有唯一实根