已知函数f(x)=1/x-log2(1+x)/(1-x)求该函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性

题目

已知函数f(x)=1/x-log2(1+x)/(1-x)求该函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性

答案

分母x≠0,真数(1+x)/(1-x)＞0
∴-1＜x＜1且x≠0
∴函数的定义域为(-1,0)∪(0,1)
显然定义域关于原点对称
f(-x)=-1/x-log2(1-x)/(1+x)
=-1/x+log2(1+x)/(1-x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数
f(x)=1/x-log2(1+x)/(1-x)=1/x+log2 (1-x)/(1+x)=1/x+log2 (-1+2/(x+1))
在(-1,0)和(0,1)上,1/x是单减的,-1+2/(x+1)也是单减的,∴log2 (-1+2/(x+1))是单减的,所以1/x+log2 (-1+2/(x+1))是单减得!
即f(x)在(-1,0)和(0,1)上是单调减少的