复数Z的N次方的模等于Z的模的N次方的证明,

题目

复数Z的N次方的模等于Z的模的N次方的证明,

答案

设Z1=X1+iY1,Z2=X2+iY2.
Z1·Z2=(X1X2-Y1Y2)+i(X1Y2+X2Y1)
所以||Z1·Z2||²=(X1X2-Y1Y2)²+(X1Y2+X2Y1)²=X1²X2²+Y1²Y2²+X1²Y2²+X2²Y1²
=(X1²+Y1²)·(X2²+Y2²)=||Z1||²·||Z2||²
所以||Z1·Z2||=||Z1||·||Z2||.
令Z1、Z2都为Z,可得||Z²||=||Z||²
令Z1=Z²,Z2=Z,可得||Z²·Z||=||Z||²·||Z||,即||Z³||=||Z||³
用归纳法可证||Z^N||=||Z||^N.