已知等差数列{xn},Sn是{xn}的前n项和,且x3=5,S5+x5=34

题目

已知等差数列{xn},Sn是{xn}的前n项和,且x3=5,S5+x5=34
已知等差数列{Xn},Sn是{Xn}的前n项和且X3=5,S5+X5=34
(1)求{Xn}的通项公式
(2)判别（sinXn）^2 + Xn*cosXn + 1 =Sn是否有解,说明理由.
(3)设An=(1/3)^n,T是{An}前n项和,是否存在正数b,对任意正整数n、k,使Tn-b*（Xk）^2

答案

(1)∵等差数列{x[n]},S[n]是{x[n]}的前n项和且x[3]=5,S[5]+x[5]=34
∴x[3]=x[1]+2d=5
S[5]+x[5]=5x[1]+10d+x[1]+4d=6x[1]+14d=34
解得：x[1]=1,d=2
∴x[n]=x[1]+d(n-1)=2n-1
(2)答：无解.
∵x[n]=2n-1
∴S[n]=n(x[1]+x[n])/2=n^2
∵(Sinx[n])^2+x[n]Cosx[n]+1=S[n]
∴1-(Cos(2n-1))^2+(2n-1)Cos(2n-1)+1=n^2
即：[Cos(2n-1)]^2-(2n-1)Cos(2n-1)+n^2-2=0
∵Δ=[(2n-1)^2-4(n^2-2)]=(9-4n)>0
∴只能是 n=1 或者 n=2
当n=1时：Cos(1)=(1+√5)/2 或者 Cos(1)=(1-√5)/2
当n=2时：Cos(3)=1 或者 Cos(3)=2
∵上述四个等式显然都不成立
∴(Sinx[n])^2+x[n]Cosx[n]+1=S[n]无解
(3)答：存在这样的b.
∵a[n]=(1/3)^n,T[n]是{a[n]}前n项和
∴T[n]=[1-(1/3)^n]/2
∵x[k]=2k-1,T[n]-b*x[k]^2