两个一元二次方程x²+kx-1=0与x²+x+k-2=0有且仅有一个相同的实数根,求k的值

题目

两个一元二次方程x²+kx-1=0与x²+x+k-2=0有且仅有一个相同的实数根,求k的值

答案

设公共根为m,则
m^2+km-1=0,
m^2+m+k=0,
两个等式相减,得到
(k-1)m-1-k=0
若k=1,则 m=1,从而两个方程相同,因此有两个相同的根,所以 k≠1
m=(k+1)/(k-1),
代入两个方程中的任意一个,得到
(k+1)^2/(k-1)^2+k(k+1)/(k-1)-1=0
(k+1)^2+k(k-1)(k+1)-(k-1)^2=0
k(k-1)(k+1)+4k=0
k[(k-1)(k+1)+4]=0
k(k^2-1+4)=0
k(k^2+3)=0
k=0,k^2+3≥0
所以k的值为0.