设f(x)在负无穷到正无穷上可导,证明:如果f(x)是奇函数,则其导数是偶函数
题目
设f(x)在负无穷到正无穷上可导,证明:如果f(x)是奇函数,则其导数是偶函数
答案
f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δxf'(-x)=lim(Δx→0)[f(-x+Δx)-f(-x)]/Δx=lim(Δx→0)[-f(x-Δx)+f(x)]/Δx=lim(-Δx→0)[f(x-Δx)-f(x)]/(-Δx)f'(-x)=f'(x),所以f'(x)是偶函数...
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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