与双曲线x25−y23=1有公共渐近线,且焦距为8的双曲线方程为_.

与双曲线x25−y23=1有公共渐近线,且焦距为8的双曲线方程为_.

题目
与双曲线
x2
5
y2
3
=1
有公共渐近线,且焦距为8的双曲线方程为______.
答案
设出所求的双曲线的方程为
x2
a2
y2
b2
=±1

依题意可知
b
a
3
5
a2+b2=16
求得a=
10
,b=
6

∴双曲线的方程为:
x2
10
y2
6
=±1

故答案为:
x2
10
y2
6
=1
x2
10
y2
6
=−1
先设出双曲线的方程,根据已知条件求得a和b的比值,进而利用焦距求得a和b的另一关系式,联立方程求得a和b,则双曲线的方程可得.

双曲线的标准方程.

本题主要考查了双曲线的简单性质.涉及公共渐近线的双曲线的方程,由于不能确定所求的双曲线的焦点所在的位置,一定要分在x轴和y轴两种情况去讨论.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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