数学证明中结论平凡是什么意思?

题目

数学证明中结论平凡是什么意思?

答案

数学中,术语“平凡”（“平凡的”）经常用于结构非常简单的对象（比如群或拓扑空间）.有时亦会用明显或乏趣这两个词代替.对非数学工作者来说,它们有时可能比其他更复杂的对象更难想象或理解.
例如：
明显因子：对于每个正整数 n 来说,1、-1、n 和 -n 都是它的明显因子.
空集：不包含任何元素的集合；
平凡群：只含单位元的群；
平凡环：定义于单元素集合的环.
“平凡” 也用于一个方程具有非常简单的结构的解,但是为了完整性不能省略.这种解称为平凡解.例如,考虑微分方程
这里 y = f(x) 为函数,其导数为 y′.
y = 0,0 函数是平凡解；
y (x) = e^x,指数函数是一个非平凡解.
类似地,数学家经常将费马大定理描述为方程a^n+b^n=c^n 对 n > 2 没有非平凡解.显然,这个方程确实有解.比如a=b=c=0对任何 n 都是解,a = 1,b = 0,c = 1 也一样.但是这种解是显然的和无趣的,从而称为“平凡”.
平凡也经常指证明中容易的情形,为了完整性而不能省略.比如,数学归纳法证明分为两部分：“奠基情形”是对一个特殊起始值比如 n = 0 或 n = 1 证明定理；然后归纳步骤证明如果定理对特定值 n 成立,那么对 n+1 也成立.奠基情形经常是显然的而确认为平凡.（但是,也有归纳步骤是平凡的而奠基情形却困难的例子.关于多项式的定理经常是这种类型,证明对变元的个数用归纳法.证明如果系数环 A 是唯一分解整环那么 A[X1,...,Xn] 是唯一分解整环,归纳步骤只要简单的写成A[X1,...,Xn] = A[X1,...,Xn-1][Xn],而一个变元的奠基情形是困难的.）类似地,我们可能想证明某种性质对一个集合中所有元素都成立.证明的主要部分将考虑非空集合,详细检验其元素；如果集合是空集,性质对其所有元素都成立,因为没有一个元素.
数学界一个常见的笑话是说“平凡”和“被证明了的”是同义词——这就是说,任何定理如果已经知道成立就可以认为是“平凡”的.另一个笑话是关于两个数学家讨论一个定理.第一个数学家说某个定理是“平凡的”.另一个要求一个解释,然后他进行了 20 分钟的解说.解说完了之后,第二个数学家同意这个定理是平凡的.这个笑话指出对平凡性判断的主观性.举个例子,对微积分很熟练的人,会认为这个定理 x²的不定积分是x³/3是平凡的.但对一个初学者来说,可能一点也不显然.
注意到平凡性也取决于语境.泛函分析中的证明可能会给出一个数,平凡地假设存在这样的大数.在初等数论中证明自然数的基本结论时,证明也许和自然数有一个后继（也是自然数成立,或者将其作为一个公理.）非常相关.