先解答（1），再通过结构类比解答（2）： （1）求证：tan（x+π4）=1+tanx/1−tanx； （2）设x∈R，a为非零常数，且f（x+a）=1+f(x)1−f(x)，试问：f（x）是周期函数

题目

先解答（1），再通过结构类比解答（2）：
（1）求证：tan（x+

π

4

答案

（1）证明：tan(x+

π

4

)＝

tanx+tan π 4

1−tanx•tan π 4

＝

1+tanx

1−tanx

．      …（6分）
（2）猜想f（x）是以4a为周期的周期函数．
证明：因为f(x+2a)＝f[(x+a)+a]＝

1+f(x+a)

1−f(x+a)

＝

1+ 1+f(x) 1−f(x)

1− 1+f(x) 1−f(x)

＝−

1

f(x)

，
所以f(x+4a)＝f[(x+2a)+2a]＝−

1

f(x+2a)

＝f(x)，
所以f（x）是以4a为周期的周期函数．                        …（14分）