求证明任何一个在（-a,a）上有定义的函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和

题目

求证明任何一个在（-a,a）上有定义的函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和

答案

设f(x)=h(x)+g(x),其中h(x)为偶函数,g(x)为奇函数,则在（-a,a）上,f(-x)=h(-x)+g(-x)=h(x)-g(x),……①又因为f(x)=h(x)+g(x),……②由①＋②可求得,h(x) =[f(x)+f(-x)]/2（这是个偶函数）从而g(x) =[f(x)-f(-x)]/2 ...