椭圆 顺便讲一下双曲线

题目

椭圆 顺便讲一下双曲线
证明由P（x0,y0）向椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)做两条切线,切点分别为AB,设线段AB中点为M,证PM过原点

答案

解析,设A(x1,y1),B(x2,y2)【x1≠x2,y1≠y2,x1=x2,或者y1=y2的特殊情况,很简单,不讨论】
那么,x1²/a²+y1²/b²=1【1】,x2²/a²+y2²/b²=1【2】
【1】-【2】,
得,(x1-x2)(x1+x2)/a²=(y2-y1)(y2+y1)/b²,
(x1-x2)/(y2-y1)*b²/a²=(y2+y1)/(x2+x1)
由于M是AB的中点,
故,M点的坐标是[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2],原点O的坐标为(0,0),故,k(OM)=(y2+y1)/(x2+x1)
过A点的切线方程PA是：x1*x/a²+y1*y/b²=1【3】
过B点的切线方程AB是：x2*x/a²+y2*y/b²=1【4】
【3】和【4】,联立解出,x0=a²*(y2-y1)/(x1y2-x2y1),y0=b²*(x2-x1)/(y1x2-y2x1)
那么k(OP)=y0/x0=(x1-x2)/(y2-y1)*b²/a²,
因此,k(OP)=k(OM),也就是,PM一定过原点O.