已知三个不同的实数a,b,c满足a-b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实根,方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实根.求a,b,c的值.
题目
已知三个不同的实数a,b,c满足a-b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实根,方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实根.求a,b,c的值.
答案
依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.
设x
1是方程①和方程②的一个相同的实根,则
两式相减,可解得
x1=.(5分)
设x
2是方程③和方程④的一个相同的实根,则
两式相减,可解得
x 2=.
所以x
1x
2=1.(10分)
又∵方程①的两根之积等于1,于是x
2也是方程①的根,
则x
22+ax
2+1=0.
又∵x
22+x
2+a=0,两式相减,得(a-1)x
2=a-1.(15分)
若a=1,则方程①无实根,
所以a≠1,故x
2=1.
于是a=-2,b+c=-1.又a-b+c=3,
解得b=-3,c=2.(20分)
将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.设x1是方程①和方程②的一个相同的实根,x2是方程③和方程④的一个相同的实根,得到关于x1与x2的解析式,进而求出a的值,再求出b、c的值即可解答.
一元二次方程的解.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的解.同时考查了从结论的反面思考问题的方法和代数式的变形能力.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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