F(X),G(X)分别是定义在R上为奇函数和偶函数
题目
F(X),G(X)分别是定义在R上为奇函数和偶函数
设f(x)、g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,求不等式f(x)g(x)<0的解集.
分析:本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数G(x)=f(x)g(x),利用 (x)的性质解决问题.
设 G(x)=f(x)g(x),则 G′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0.
∴ G(x)在(-∞,0)上是增函数且 G(-3)=0.
又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,∴ (x)=f(x)g(x)为奇函数.
∴ G(x)在(0,+∞)上也是增函数且 G(3)=0.
当x3时,f(x)g(x)>0.
∴f(x)g(x)
答案
G(x)=f(x)g(x),
所以G(-3)=f(-3)g(-3)
g(-3)=0
所以G(-3)=f(-3)*0=0
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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